回溯算法

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原理

最近在做题的时候遇到了好几次回溯算法，每次都是慢慢试出来的，所以就去找一下有没有什么抽象出来的思路可以参考，于是找了很多文章，这里摘录一片最基础但也是最清楚的文章，原文链接是这个。

解决一个回溯问题，实际上就是一个决策树的遍历过程。你只需要思考 3 个问题：

1、路径：也就是已经做出的选择。

2、选择列表：也就是你当前可以做的选择。

3、结束条件：也就是到达决策树底层，无法再做选择的条件。

如果你不理解这三个词语的解释，没关系，我们后面会用「全排列」和「N 皇后问题」这两个经典的回溯算法问题来帮你理解这些词语是什么意思，现在你先留着印象。

代码方面，回溯算法的框架：

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result = []
def backtrack(路径, 选择列表):
    if 满足结束条件:
        result.add(路径)
        return
    for 选择 in 选择列表:
        做选择
        backtrack(路径, 选择列表)
        撤销选择

其核心就是 for 循环里面的递归，在递归调用之前「做选择」，在递归调用之后「撤销选择」，特别简单。

什么叫做选择和撤销选择呢，这个框架的底层原理是什么呢？下面我们就通过「全排列」这个问题来解开之前的疑惑，详细探究一下其中的奥妙！

举例

全排列问题

我们在高中的时候就做过排列组合的数学题，我们也知道 n 个不重复的数，全排列共有 n! 个。

PS：为了简单清晰起见，我们这次讨论的全排列问题不包含重复的数字。

那么我们当时是怎么穷举全排列的呢？比方说给三个数 [1,2,3]，你肯定不会无规律地乱穷举，一般是这样：

先固定第一位为 1，然后第二位可以是 2，那么第三位只能是 3；然后可以把第二位变成 3，第三位就只能是 2 了；然后就只能变化第一位，变成 2，然后再穷举后两位……

其实这就是回溯算法，我们高中无师自通就会用，或者有的同学直接画出如下这棵回溯树：

https://res.cloudinary.com/dvtfhjxi4/image/upload/v1608032281/origin-of-ray/微信截图_20201215193732_x2lnqw.png

只要从根遍历这棵树，记录路径上的数字，其实就是所有的全排列。我们不妨把这棵树称为回溯算法的「决策树」。

为啥说这是决策树呢，因为你在每个节点上其实都在做决策。比如说你站在下图的红色节点上：

https://res.cloudinary.com/dvtfhjxi4/image/upload/v1608032359/origin-of-ray/微信截图_20201215193902_cao7zo.png

你现在就在做决策，可以选择 1 那条树枝，也可以选择 3 那条树枝。为啥只能在 1 和 3 之中选择呢？因为 2 这个树枝在你身后，这个选择你之前做过了，而全排列是不允许重复使用数字的。

现在可以解答开头的几个名词：[2] 就是「路径」，记录你已经做过的选择；[1,3] 就是「选择列表」，表示你当前可以做出的选择；「结束条件」就是遍历到树的底层，在这里就是选择列表为空的时候。

如果明白了这几个名词，可以把「路径」和「选择」列表作为决策树上每个节点的属性，比如下图列出了几个节点的属性：

https://res.cloudinary.com/dvtfhjxi4/image/upload/v1608032609/origin-of-ray/微信截图_20201215194319_ri7upg.png

我们定义的 backtrack 函数其实就像一个指针，在这棵树上游走，同时要正确维护每个节点的属性，每当走到树的底层，其「路径」就是一个全排列。

再进一步，如何遍历一棵树？这个应该不难吧。回忆一下之前「学习数据结构的框架思维」写过，各种搜索问题其实都是树的遍历问题，而多叉树的遍历框架就是这样：

void traverse(TreeNode root) {
for (TreeNode child : root.childern)
// 前序遍历需要的操作
traverse(child);
// 后序遍历需要的操作
}
而所谓的前序遍历和后序遍历，他们只是两个很有用的时间点

前序遍历的代码在进入某一个节点之前的那个时间点执行，后序遍历代码在离开某个节点之后的那个时间点执行。

回想我们刚才说的，「路径」和「选择」是每个节点的属性，函数在树上游走要正确维护节点的属性，那么就要在这两个特殊时间点搞点动作：

https://res.cloudinary.com/dvtfhjxi4/image/upload/v1608032818/origin-of-ray/微信截图_20201215194648_rfi3ci.png

现在，你是否理解了回溯算法的这段核心框架？

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for 选择 in 选择列表:
    # 做选择
    将该选择从选择列表移除
    路径.add(选择)
    backtrack(路径, 选择列表)
    # 撤销选择
    路径.remove(选择)
    将该选择再加入选择列表

我们只要在递归之前做出选择，在递归之后撤销刚才的选择，就能正确得到每个节点的选择列表和路径。

自己实现的JavaScript代码：

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/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number[][]}
 */

const swap = (nums, i, j) => {
    let temp = nums[i];
    nums[i] = nums[j];
    nums[j] = temp;
}

const generate = (nums, output, n, first) => {
    if (first === n) {
        output.push([...nums]);
    }
    for (let i = first; i < n; i++) {
        swap(nums, i, first);
        generate(nums, output, n, first + 1);
        swap(nums, i, first);        
    }
};

const permute = function(nums) {
    let output = [];
    generate(nums, output, nums.length, 0);
    return output;
};

注：

本文图片均来自于labuladong公众号