数学之美梳理（八）最大熵模型

在信息处理中，我们常常知道各种各样但又不完全准确的信息，我们需要一个统一的模型将这些信息综合起来。如何综合的好，是一门学问

让我们看一个拼音转汉字的简单例子，假设输入的拼音是“wang-xiao-bo”，利用语言模型，根据有限的上下文，我们可以给出两个最常见的名字：“王小波”和“王晓波”，但是要唯一确定哪个名字就难了，即使利用较长的上下文也比较难。当然，我们知道，如果通篇文章是介绍文学的，作家王小波的可能性更大，而在讨论两岸关系时，台湾学者王晓波的可能性更大。

最大熵原理和最大熵模型

数学解决上述问题最漂亮的方法是最大熵模型，这个名词听起来很深奥，但是它的原理很简单，就是保留全部的不确定性，将风险降到最低。

我们以骰子为例，对于每个面朝上的概率是多少这个问题，大家的答案都会说是等概率，即各种点数都是1/6。这种猜测当然是对的，但是为什么大家会这么想，因为我们对这个骰子一无所知，假定它的每一个面朝上的概率均等是最安全的做法。从信息论的角度讲，就是保留了最大的不确定性，也就是让熵最大。

最大熵原理指出，对一个随机事件的概率分布进行预测时，我们的预测应当满足全部已知条件，而对未知的情况不做任何主观假设。这种情况下，概率分布最均匀，风险最小。

刚才拼音转汉字的例子，我们已知两种信息，第一，根据语言模型，Wang-Xiao-Bo可以转换成王晓波或者王小波；第二，根据主题，我们知道王小波是作家，而王晓波是研究两岸关系的台湾学者。因此就可以建立一个最大熵模型，同时满足这两种信息的特征。

现在的问题是，这样一个模型是否存在。匈牙利著名数学家，信息论最高奖香农奖得主希撒证明，对于任何一组不自相矛盾的信息，这个最大熵模型不仅存在，而且唯一。此外，它们都有一个非常简单的形式——指数函数。

下面的公式是根据上下文（前两个词）和主题预测下一个词的最大熵模型，其中$w_3$ 是要预测的词（王晓波或王小波），$w_1,w_2$ 是它前两个词（比如分别是出版，小说家），也就是其上下文的一个大致估计，s表示主题。

$$P(w_3 | w_1,w_2,s) = \frac{1}{Z(w_1,w_2,s)}e^{\lambda_1(w_1,w_2,w_3)+\lambda_2(s,w_3)}$$

其中Z是归一化因子，保证概率加起来等于1。

在上面的公式中，有几个参数$\lambda,Z$，它们需要通过观测数据训练出来。

最大熵模型在形式上是最漂亮，最完美的统计模型，在自然语言处理和金融方面都有很多应用。

最大熵模型的训练

最大熵模型在形式上非常简单，但是在实现上却非常复杂，计算量很大，假定我们搜索的排序需要考虑20种特征，${x_1,x_2,\ldots,x_{20}}$，待排序的网页是d，那么即使这些特征互相独立，对应的最大熵模型也是很长的。

$$P(d|x_1,x_2,\ldots,x_{20}) = \frac{1}{Z(x_1,x_2,\ldots,x_{20})}e^{\lambda_1(x_1,d)+\lambda_2(x_2,d)+\ldots+\lambda_{20}(x_{20},d)}$$

其中归一化因子为：

$$Z(x_1,x_2,\ldots,x_{20}) = \sum_de^{\lambda_1(x_1,d)+\lambda_2(x_2,d)+\ldots+\lambda_{20}(x_{20},d)}$$

这个模型里有很多参数$\lambda$ 需要通过模型的训练而来。

最原始的最大熵模型的训练方法是一种被称为通用迭代算法GIS的迭代算法。

GIS的原理并不复杂，大致可以概括为几个步骤：

1. 假定第零次迭代的初始模型为等概率的均匀分布
2. 用第N次迭代的模型来估算每种信息特种在寻来你数据中的分布，如果超过了实际的，就把相应的模型参数调小，否则将其变大
3. 重复步骤2，直至收敛

GIS算法是一种非常典型的期望最大化算法，但是GIS每次迭代的时间都很长，而且不太稳定，在64位机器上都会出现溢出，在实际应用中很少有人真正使用GIS，大家只是通过它来了解最大熵模型。