零基础学习机器学习（七）线性回归的基本原理和简单实现

发表于 更新于 分类于 Waline：

本节一起跟随李沐老师的课程动手学习线形回归的基本思想，并从零实现。

1. 线性回归的基本原理

回归（regression）是能为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的一类方法。 在自然科学和社会科学领域，回归经常用来表示输入和输出之间的关系。

在机器学习领域中的大多数任务通常都与预测（prediction）有关。 当我们想预测一个数值时，就会涉及到回归问题。 常见的例子包括：预测价格（房屋、股票等）、预测住院时间（针对住院病人等）、 预测需求（零售销量等）。 但不是所有的预测都是回归问题。 在后面的章节中，我们将介绍分类问题。分类问题的目标是预测数据属于一组类别中的哪一个。

1.1 线性回归的基本元素

线性回归（linear regression）可以追溯到19世纪初， 它在回归的各种标准工具中最简单而且最流行。 线性回归基于几个简单的假设： 首先，假设自变量x和因变量y之间的关系是线性的， 即y可以表示为x中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声； 其次，我们假设任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布。

为了解释线性回归，我们举一个实际的例子： 我们希望根据房屋的面积（平方英尺）和房龄（年）来估算房屋价格（美元）。 为了开发一个能预测房价的模型，我们需要收集一个真实的数据集。 这个数据集包括了房屋的销售价格、面积和房龄。 在机器学习的术语中，该数据集称为训练数据集（training data set） 或训练集（training set）。 每行数据（比如一次房屋交易相对应的数据）称为样本（sample）， 也可以称为数据点（data point）或数据样本（data instance）。 我们把试图预测的目标（比如预测房屋价格）称为标签（label）或目标（target）。 预测所依据的自变量（面积和房龄）称为特征（feature）或协变量（covariate）。

1.1.1 线性模型

线性假设是指目标（房屋价格）可以表示为特征（面积和房龄）的加权和，如下面的式子：

price=warea×area+wage×age+bprice = w_{area} \times area + w_{age} \times age + b

上式中的wareaw_{area} 和wagew_{age} 称为权重（weight），权重决定了每个特征对我们预测值的影响。b称为偏置（bias）、偏移量（offset）或截距（intercept）。 偏置是指当所有特征都取值为0时，预测值应该为多少。 即使现实中不会有任何房子的面积是0或房龄正好是0年，我们仍然需要偏置项。 如果没有偏置项，我们模型的表达能力将受到限制。 严格来说， 上式是输入特征的一个 仿射变换（affine transformation）。 仿射变换的特点是通过加权和对特征进行线性变换（linear transformation）， 并通过偏置项来进行平移（translation）。

给定一个数据集，我们的目标是寻找模型的权重w和偏置b， 使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。 输出的预测值由输入特征通过线性模型的仿射变换决定，仿射变换由所选权重和偏置确定。

而在机器学习领域，我们通常使用的是高维数据集，建模时采用线性代数表示法会比较方便。 当我们的输入包含d个特征时，我们将预测结果y^\hat{y}（通常使用“尖角”符号表示的估计值）表示为：

y^=w1x1+…+wdxd+b\hat{y} = w_1x_1 + \ldots + w_dx_d + b

将所有特征放到向量x⊂Rdx \sub R^d中， 并将所有权重放到向量w⊂Rdw \sub R^d中， 我们可以用点积形式来简洁地表达模型

y^=wTx+b\hat{y} = w^Tx+b

用符号表示的矩阵X可以很方便地引用我们整个数据集的n个样本。 其中，X的每一行是一个样本，每一列是一种特征。

对于特征集合X，预测值y^\hat{y} 可以通过矩阵-向量乘法表示为：

y^=Xw+b\hat{y} = Xw + b

虽然我们相信给定x预测y的最佳模型会是线性的， 但我们很难找到一个有
个样本的真实数据集，其中对于所有的1≤i≤n1 \le i \le n，y(i)y^{(i)}完全等于wTx(i)+bw^Tx^{(i)} + b。 无论我们使用什么手段来观察特征X和标签y， 都可能会出现少量的观测误差。 因此，即使确信特征与标签的潜在关系是线性的， 我们也会加入一个噪声项来考虑观测误差带来的影响。

在开始寻找最好的模型参数（model parameters）w和b之前， 我们还需要两个东西： （1）一种模型质量的度量方式； （2）一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。

1.1.2损失函数

在我们开始考虑如何用模型拟合（fit）数据之前，我们需要确定一个拟合程度的度量。 损失函数（loss function）能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。 通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。 回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。 当样本i的预测值为y^(i)\hat{y}^(i)，其相应的真实标签为y(i)y^(i)时， 平方误差可以定义为以下公式：

l(i)(w,b)=12(y(i)−y^(i))2l^{(i)}(w,b) = \frac{1}{2} (y^{(i)} - \hat{y}^{(i)})^2

常数12\frac{1}{2} 不会带来本质的差别，但这样在形式上稍微简单一些 （因为当我们对损失函数求导后常数系数为1）。 由于训练数据集并不受我们控制，所以经验误差只是关于模型参数的函数。 为了进一步说明，来看下面的例子。 我们为一维情况下的回归问题绘制图像

由于平方误差函数中的二次方项， 估计值y^(i)\hat{y}^{(i)}和观测值y(i)y^{(i)}之间较大的差异将导致更大的损失。 为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集n个样本上的损失均值（也等价于求和）。

L(w,b)=1n∑i=1nl(i)(w,b)=1n∑i=1n12(wTx(i)+b−y(i))2L(w,b) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n l^{(i)}(w,b) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\frac{1}{2}(w^Tx^{(i)} + b - y^{(i)})^2

在训练模型时，我们希望寻找一组参数(w∗,b∗)(w^*, b^*)， 这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。如下式

w∗,b∗=argminL(w,b)w^*,b^* = argmin L(w,b)

1.1.3 解析解

线性回归刚好是一个很简单的优化问题。 与我们将在本书中所讲到的其他大部分模型不同，线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来， 这类解叫作解析解（analytical solution）。 首先，我们将偏置b合并到参数w中，合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。 我们的预测问题是最小化∣∣y−Xw∣∣2||y - Xw|| ^2。 这在损失平面上只有一个临界点，这个临界点对应于整个区域的损失极小点。 将损失关于w的导数设为0，得到解析解：

w∗=(XTX)−1XTyw* = (X^TX)^{-1}X^Ty

像线性回归这样的简单问题存在解析解，但并不是所有的问题都存在解析解。 解析解可以进行很好的数学分析，但解析解对问题的限制很严格，导致它无法广泛应用在深度学习里。

1.1.4 随机梯度下降

即使在我们无法得到解析解的情况下，我们仍然可以有效地训练模型。 在许多任务上，那些难以优化的模型效果要更好。 因此，弄清楚如何训练这些难以优化的模型是非常重要的。

本书中我们用到一种名为梯度下降（gradient descent）的方法， 这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。 它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。

梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值） 关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。 但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。 因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本， 这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。

在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量B\mathcal{B}， 它是由固定数量的训练样本组成的。 然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。 最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数η\eta，并从当前参数的值中减掉。

我们用下面的数学公式来表示这一更新过程

(w,b)=(w,b)−η∣B∣∑i⊂B∂(w,b)l(i)(w,b)(w,b) = (w,b) - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \sub \mathcal{B}} \partial_{(w,b)}l^{(i)}(w,b)

公式 (3.1.10)中的w和x都是向量。 在这里，更优雅的向量表示法比系数表示法（如w1,w2,…,wdw_1,w_2,\ldots, w_d）更具可读性。∣B∣|\mathcal{B}|表示每个小批量中的样本数，这也称为批量大小（batch size）。η\eta表示学习率（learning rate）。 批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。 这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）。 调参（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。 超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的， 而训练迭代结果是在独立的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。

在训练了预先确定的若干迭代次数后（或者直到满足某些其他停止条件后）， 我们记录下模型参数的估计值，表示为w^,b^\hat{w}, \hat{b}。 但是，即使我们的函数确实是线性的且无噪声，这些估计值也不会使损失函数真正地达到最小值。 因为算法会使得损失向最小值缓慢收敛，但却不能在有限的步数内非常精确地达到最小值。

线性回归恰好是一个在整个域中只有一个最小值的学习问题。 但是对像深度神经网络这样复杂的模型来说，损失平面上通常包含多个最小值。 深度学习实践者很少会去花费大力气寻找这样一组参数，使得在训练集上的损失达到最小。 事实上，更难做到的是找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失， 这一挑战被称为泛化（generalization）。

2. 从零实现线性回归

我们使用pytorch实现

2.1 生成数据集

为了简单起见，我们将根据带有噪声的线性模型构造一个人造数据集。 我们的任务是使用这个有限样本的数据集来恢复这个模型的参数。 我们将使用低维数据，这样可以很容易地将其可视化。 在下面的代码中，我们生成一个包含1000个样本的数据集， 每个样本包含从标准正态分布中采样的2个特征。 我们的合成数据集是一个矩阵X⊂R1000×2X \sub R^{1000 \times 2}。

我们使用线性模型参数w=[2,−3.4]w = [2,-3.4]、b = 4.2和噪声项ϵ\epsilon 生成数据集及其标签：

y=Xw+b+ϵy = Xw + b + \epsilon

可以视为模型预测和标签时的潜在观测误差。 在这里我们认为标准假设成立，即
服从均值为0的正态分布。 为了简化问题，我们将标准差设为0.01。 下面的代码生成合成数据集。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
import random
import torch
from d2l import torch as d2l

def synthetic_data(w, b, num_examples):  #@save
    """生成y=Xw+b+噪声"""
    X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))
    y = torch.matmul(X, w) + b
    y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)
    return X, y.reshape((-1, 1))

true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

我们此时可以可视化观察下生成数据的样子

1
2
d2l.set_figsize()
d2l.plt.scatter(features[:, (1)].detach().numpy(), labels.detach().numpy(), 1)

2.2 批量读取数据集

回想一下，训练模型时要对数据集进行遍历，每次抽取一小批量样本，并使用它们来更新我们的模型。 由于这个过程是训练机器学习算法的基础，所以有必要定义一个函数， 该函数能打乱数据集中的样本并以小批量方式获取数据。

在下面的代码中，我们定义一个data_iter函数， 该函数接收批量大小、特征矩阵和标签向量作为输入，生成大小为batch_size的小批量。 每个小批量包含一组特征和标签。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
def data_iter(batch_size, features, labels):
    num_examples = len(features)
    indices = list(range(num_examples))
    # 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序
    random.shuffle(indices)
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
        batch_indices = torch.tensor(
            indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])
        yield features[batch_indices], labels[batch_indices]

2.3 初始化参数模型

在我们开始用小批量随机梯度下降优化我们的模型参数之前， 我们需要先有一些参数。 在下面的代码中，我们通过从均值为0、标准差为0.01的正态分布中采样随机数来初始化权重， 并将偏置初始化为0。

1
2
w = torch.normal(0, 0.01, size=(2,1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

2.4 定义模型

接下来，我们必须定义模型，将模型的输入和参数同模型的输出关联起来。 回想一下，要计算线性模型的输出， 我们只需计算输入特征X和模型权重w的矩阵-向量乘法后加上偏置b。 注意，上面的Xw是一个向量，b是一个标量。

1
2
3
def linreg(X, w, b):  #@save
    """线性回归模型"""
    return torch.matmul(X, w) + b

2.5 定义损失函数

因为需要计算损失函数的梯度，所以我们应该先定义损失函数。 这里我们使用 3.1节中描述的平方损失函数。 在实现中，我们需要将真实值y的形状转换为和预测值y_hat的形状相同。

1
2
3
def squared_loss(y_hat, y):  #@save
    """均方损失"""
    return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2

2.6 定义优化算法

尽管线性回归有解析解，但本书中的其他模型却没有。 这里我们介绍小批量随机梯度下降。

在每一步中，使用从数据集中随机抽取的一个小批量，然后根据参数计算损失的梯度。 接下来，朝着减少损失的方向更新我们的参数。 下面的函数实现小批量随机梯度下降更新。 该函数接受模型参数集合、学习速率和批量大小作为输入。每 一步更新的大小由学习速率lr决定。 因为我们计算的损失是一个批量样本的总和，所以我们用批量大小（batch_size） 来规范化步长，这样步长大小就不会取决于我们对批量大小的选择。

1
2
3
4
5
6
def sgd(params, lr, batch_size):  #@save
    """小批量随机梯度下降"""
    with torch.no_grad():
        for param in params:
            param -= lr * param.grad / batch_size
            param.grad.zero_()

2.7 训练

现在我们已经准备好了模型训练所有需要的要素，可以实现主要的训练过程部分了。 理解这段代码至关重要，因为从事深度学习后， 相同的训练过程几乎一遍又一遍地出现。 在每次迭代中，我们读取一小批量训练样本，并通过我们的模型来获得一组预测。 计算完损失后，我们开始反向传播，存储每个参数的梯度。 最后，我们调用优化算法sgd来更新模型参数。

在每个迭代周期（epoch）中，我们使用data_iter函数遍历整个数据集， 并将训练数据集中所有样本都使用一次（假设样本数能够被批量大小整除）。 这里的迭代周期个数num_epochs和学习率lr都是超参数，分别设为3和0.03。 设置超参数很棘手，需要通过反复试验进行调整。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_loss

for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
        l = loss(net(X, w, b), y)  # X和y的小批量损失
        # 因为l形状是(batch_size,1)，而不是一个标量。l中的所有元素被加到一起，
        # 并以此计算关于[w,b]的梯度
        l.sum().backward()
        sgd([w, b], lr, batch_size)  # 使用参数的梯度更新参数
    with torch.no_grad():
        train_l = loss(net(features, w, b), labels)
        print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')